MPA S2 algèbre 2014 Responsable : Christine Huyghe Contrôle Continu du 22 mars 2014. Durée : 1h30. Sujet 2 (A indiquer obligatoirement sur la copie)

Il sera accordé le plus grand soin à la qualité de la rédaction. Sont interdits : les documents, les téléphones portables, les baladeurs, et tout autre objet électronique (calculatrice, ...). Le barême noté n’est qu’indicatif.

1. Cours (5 pts). Soit un corps.

1- Soit un -espace vectoriel de dimension finie. Rappeler la définition de la

dimension de . 2- Soit un sous-espace vectoriel de , de dimension finie. Montrer que

et que = si et seulement si = . 3- Donner sans démonstration une base de _{2}( ) et en conclure que

( _{2}( )) = 4.

2. Vrai/Faux (3 pts). Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier votre réponse : donner une démonstration si vous trouvez que l’affirmation est juste. Dans le cas contraire, donner un contre-exemple.

1- Soient = ℝ^{}, avec 4. Soient _{1} et _{2} deux plans vectoriels distincts,

alors ( _{1} + _{2}) = 4. 2- Soient _{1} _{8} des matrices de _{3}(ℂ), alors la famille ( _{1} _{8}) n’est

pas génératrice de _{3}(ℂ). 3- Soient _{1} _{8} des matrices de _{3}(ℂ), alors la famille _{1} _{8} est libre.

3. Exercice 1 (5 pts).

1- Soit ( ) _{4}(ℂ) définie par

( ) = ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}1 & 0 & 0 & + 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 2 + \frac{}{2} \end{matrix} ; ; ; ; ; ;

où est une indéterminée. Calculer ( ) = ( ( )) et montrer que ( ) = ( 1)^{2} ( ) où est un polynôme de degré 1 à déterminer.

2- Soit ℂ et

( ) = ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}2 1 \\ 0 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ; ; ; ; ; ; ( ) = ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix} ; ; ; ; ; ; ( ) = ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}2 + 2 \\ 0 \\ 2 1 \\ 2 + \frac{}{2} \end{matrix} ; ; ; ; ; ; ( ) = ; ; ; ; ; ; \begin{matrix}0 \\ \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ; ; ; ; ; ;

(i) Calculer ( ( ) ( ) ( ) ( )) en fonction de ( ).

(ii) Déterminer pour quelles valeurs de la famille est une base

du ℂ-espace vectoriel ℂ^{4}.

4. Exercice 2 (7 pts). Soit l’espace vectoriel des suites à valeurs complexes. On dit qu’une suite ( _{}) de est bornée si

0 N _{}

On note le sous-ensemble des suites bornées. Soit le sous-espace vectoriel des suites vérifiant la relation de récurrence

N _{+2} + \overline{2} _{+1} + _{}= 0

1- Montrer que est un sous-espace vectoriel de . 2- Calculer les racines complexes du polynôme ( ) = ^{2} + \overline{2} + 1, et

montrer qu’elle sont de module égal à 1. En déduire une base de comme ℂ-espace vectoriel. Montrer que .

3- Montrer que les suites _{}= (3 4) et _{}= (3 4) forment une

base de suites réelles de . 4- Soit l’application : ℂ définie par (( _{})) = _{0}. Montrer que est

linéaire. 5- Montrer que ( ) est de dimension 1 et donner une base de ( ). Mon-

trer que ( ) = ℂ 6- Et s’il reste du temps (bonus) : calculer le terme général des suites ( _{}) et

( _{}).